Lý thuyết các hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác

Nhắc lại hệ thức lượng vô tam giác vuông.

Bạn đang xem: hệ thức lượng trong tam giác thường

Cho tam giác $ABC$ vuông góc bên trên đỉnh $A$ ($\widehat{A} = 90^0$), tớ có:

1. ${b^2} = ab';{c^2} = a.c'$

2. Định lý Pitago : ${a^2} = {b^2} + {c^2}$

3. $a.h = b.c$

4. $h^2= b’.c’$

5. $\dfrac{1}{h^{2}}$ = $\dfrac{1}{b^{2}}$ + $\dfrac{1}{c^{2}}$

1. Định lý cosin

Định lí: Trong một tam giác bất kì, bình phương một cạnh vày tổng những bình phương của nhì cạnh sót lại trừ lên đường nhì đợt tích của nhì cạnh bại liệt nhân với $cosin$ của góc xen thân ái bọn chúng.

Ta đem những hệ thức sau:

$$\eqalign{
& {a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc.\cos A \, \, (1) \cr
& {b^2} = {a^2} + {c^2} - 2ac.\cos B \, \, (2) \cr
& {c^2} = {a^2} + {b^2} - 2ab.\cos C \, \, (3) \cr} $$

Hệ ngược của tấp tểnh lí cosin:

$\cos A = \dfrac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}$

$\cos B = \dfrac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}$

$\cos C = \dfrac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}$

Áp dụng: Tính chừng lâu năm đàng trung tuyến của tam giác:

Cho tam giác $ABC$ đem những cạnh $BC = a, CA = b$ và $AB = c$. Gọi $m_a,m_b$ và $m_c$ là chừng lâu năm những đàng trung tuyến thứu tự vẽ kể từ những đỉnh $A, B, C$ của tam giác. Ta có

${m_{a}}^{2}$ = $\dfrac{2.(b^{2}+c^{2})-a^{2}}{4}$

${m_{b}}^{2}$ = $\dfrac{2.(a^{2}+c^{2})-b^{2}}{4}$

${m_{c}}^{2}$ = $\dfrac{2.(a^{2}+b^{2})-c^{2}}{4}$

2. Định lí sin

Định lí: Trong tam giác $ABC$ ngẫu nhiên, tỉ số thân ái một cạnh và sin của góc đối lập với cạnh bại liệt vày 2 lần bán kính của đàng tròn xoe nước ngoài tiếp tam giác, nghĩa là

$\dfrac{a}{\sin A}= \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C} = 2R$

với $R$ là nửa đường kính đàng tròn xoe nước ngoài tiếp tam giác

Công thức tính diện tích S tam giác

Diện tích $S$ của tam giác $ABC$ được xem theo đòi một trong số công thức sau

Xem thêm: biểu hiện nào sau đây không phải là do tác động của nội lực

$S = \dfrac{1}{2} ab \sin C= \dfrac{1}{2} bc \sin A $ $= \dfrac{1}{2}ca \sin B \, \,(1)$

$S = \dfrac{abc}{4R}\, \,(2)$

$S = pr\, \,(3)$

$S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}$ (công thức Hê - rông) $(4)$

Trong đó:$BC = a, CA = b$ và $AB = c$; $R, r$ là nửa đường kính đàng tròn xoe nước ngoài tiếp, bk đàng tròn xoe nội tiếp và $S$ là diện tích S tam giác bại liệt.

3. Giải tam giác và phần mềm vô việc đo đạc

Giải tam giác : Giải tam giác là đi tìm kiếm những nhân tố (góc, cạnh) chưa chắc chắn của tam giác Lúc đang được biết một vài nhân tố của tam giác bại liệt.

Muốn giải tam giác tớ cần thiết tìm hiểu nguyệt lão tương tác trong những góc, cạnh đang được mang lại với những góc, những cạnh chưa chắc chắn của tam giác trải qua những hệ thức và đã được nêu vô tấp tểnh lí cosin, tấp tểnh lí sin và những công thức tính diện tích S tam giác.

Các câu hỏi về giải tam giác: Có 3 câu hỏi cơ bạn dạng về gỉải tam giác:

a) Giải tam giác lúc biết một cạnh và nhì góc.

=> Dùng tấp tểnh lí sin nhằm tính cạnh sót lại.

b) Giải tam giác lúc biết nhì cạnh và góc xen giữa

=> Dùng tấp tểnh lí cosin nhằm tính cạnh loại phụ thân.

Sau bại liệt sử dụng hệ ngược của tấp tểnh lí cosin nhằm tính góc.

c) Giải tam giác lúc biết phụ thân cạnh

Đối với câu hỏi này tớ dùng hệ ngược của tấp tểnh lí cosin nhằm tính góc:

$\cos A = \dfrac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}$

$\cos B = \dfrac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}$

$cos C = \dfrac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}$

Chú ý:

1. Cần cảnh báo là một trong những tam giác giải được Lúc tớ biết 3 nhân tố của chính nó, vô bại liệt cần đem tối thiểu một nhân tố chừng lâu năm (tức là nhân tố góc ko được vượt lên trên 2)

2. Việc giải tam giác được dùng vô những câu hỏi thực tiễn, nhất là những câu hỏi đo lường.